LES GAMMES MUSICALES

( sites d'origine1 et 2)

1. Les notes de musique

Une note, le LA

En musique, seules quelques fréquences de sons sont utilisées, les notes.

De plus, pour que plusieurs instruments, y compris à notes fixes  (flute, saxophone, orgue, ...) puissent jouer ensemble, une note de base a été fixée. Cette note a été fixée à 440 Hz et est donnée par le diapason, c'est le LA.

On pourrait croire que cette valeur de 440 Hz a été choisie pour une qualité particulière et qu'elle est plus agréable à entendre que 430 ou 450 Hz mais ce n'est absolument pas le cas et cette valeur a été fixée arbitrairement. Le LA a par ailleurs évolué dans le temps et a pris des valeurs assez différentes. 

Entendus les uns après les autres, nous constatons que ces sons sont très différents mais séparément, nous serions pour la plupart incapables de dire quel est le LA du diapason actuel. En effet, une seule personne sur mille est capable de reconnaître la hauteur d'une note unique.

Ecoutons maintenant les sons suivants dont les fréquences sont des multiples ou des diviseurs du LA du diapason :

Ces notes se ressemblent tellement qu'on leur a donné le même nom LA, la seule différence est qu'elles ne sont pas dans la même octave.

On peut au passage remarquer que le rapport entre deux fréquences successives est 2. Il est donc normal, puisque l'oreille est sensible au rapport des fréquences, que nous ayons l'impression qu'il y a à chaque fois la même différence entre ces notes. 

Plusieurs notes

Nous venons de constater que le LA 440 Hz est une valeur arbitraire. Par la suite, nous allons choisir une note de base quelconque que nous appellerons DO et allons prendre sa fréquence comme unité. 

Voici une: PREMIERE ECOUTE Un "Do" de référence, puis du "Do" à l'octave inférieure de 1er et enfin du "Do" à l'octave supérieure du 1er

Bien sûr, le 2ème do est plus aigu que le 1er ; plus précisément, sa fréquence est double de celle du premier ; par exemple, on obtient l'un en pinçant une corde d'une longueur donnée, et l'autre en pinçant la même corde, mais deux fois plus courte. On dit que le 2ème do est l'octave du 1er , ou encore que l'intervalle entre des deux notes est une octave.

On a ainsi une impression particulière de "ressemblance" en entendant ces notes. On s'autorise donc à leur donner le même nom

définition d'une octave

définition d'un intervalle entre 2 notes

définition d'une gamme musicale

2. la gamme naturelle de pythagore

Voici maintenant quelques expériences sonores afin de rencontrer la gamme de Pythagore :

En l'occurrence, c'est plutôt un bicorde, avec deux cordes aux caractéristiques identiques : même diamètre, même longueur et même tension, produisant ainsi le même son. L'intérêt d'avoir deux cordes est de pouvoir faire une comparaison entre le son de référence, produit par la corde de longueur 1, et un autre son, obtenu en réduisant la longueur de la corde vibrante (sans la couper !) en utilisant un chevalet mobile :

Nous dirons qu'une gamme se définit par une échelle de sons entre deux notes à l’octave l'une de l'autre, ce qui revient donc, en pensant "longueur de cordes", à choisir un ensemble de nombres compris entre 1/2 et 1 ...

	note à l'octave		note de départ

Solutions mathématiques

construction de la gamme de Pythagore

Pythagore aurait choisi de prendre, après la moitié, le tiers de la corde ; mais 1/3 n'est pas compris entre 1/2 et 1, ce qui impose de prendre plutôt la note à l'octave inférieure, qui nous donne, on le sait, une impression similaire, d'où le choix du nombre 2/3 ..

Deux notes, ce n'est pas assez pour faire de la musique... Pythagore aurait utilisé le principe suivant : puisque la corde de longueur 2/3 "sonne bien" avec la corde de départ, une corde de longueur " les 2/3 des 2/3 " donnera la même impression avec la corde de longueur 2/3... On obtient ainsi une corde de longueur 4/9.

Mais comme 4/9 n'est pas compris entre 1/2 et 1, on prend le même son à l'octave inférieure en multipliant par 2 la longueur. On obtient donc une corde de longueur 8/9 :

Et ainsi de suite.......A vous de continuer (les 12 premieres fractions )

Nous constaterons que la 7ème fraction obtenue est plus proche de 1 que toutes les précédentes ! On peut considérer – en étant conscient que ce n'est pas tout à fait vrai - qu'on a quasiment bouclé la boucle !

Voici L'ECOUTE des 7 notes correspondant aux 7 premières fractions .

La 4ème note peut heurter par rapport à nos habitudes ; remarquons que c’est la fraction la plus " compliquée " qui est en cause ; on peut considérer qu’il faut qu’elle soit plus grave, ce qui impose de choisir une fraction plus grande ; 3/4 est la fraction la plus simple qui respecte ce contrat ; notons que 2/3 de 3/4 redonnent 1/2 , mais surtout : écoutons

Nous avons (peut-être...) l'impression d'entendre une gamme " normale "

Voici les rapports de la gamme de Pythagore (notation "américaine" des notes : C = do, D = ré, etc...)

Voici un instrument correspondant : chaque corde a pour longueur l'une des fractions ci-dessus.

3.Construction de la gamme tempérée.

Puisqu'il n'est pas possible de travailler avec des gammes justes, autant créer une gamme pas trop fausse mais plus simple que les deux que nous connaissons. En prenant des tons égaux et des demi-tons qui soient exactement la moitié d'un ton, l'octave pourra être partagée en 12 parties égales.

Valeur d'un demi-ton

Nous avons déjà vu que l'écart entre les notes s'évalue comme des rapports de fréquences, nous devons donc avoir :

Si ce rapport vaut z, nous avons :

Nous en concluons qu'un demi-ton vaut soit environ 1,059463.

Pour trouver les notes de la gamme, il suffit donc de partir de la fréquence de la fondamentale puis de multiplier à chaque fois par pour trouver la note suivante. Nous obtenons donc les valeurs :

Comparaison avec les autres gammes

D'une façon générale, on peut remarquer que :

• Les deux gammes donnent sensiblement la même valeur pour le SOL.

• Les différences sont négligeables sauf pour les notes MI, LA et SI.